基础数学

Mathf

Math是C#封装的一个类，Mathf是Unity中封装的工具结构体，不仅包含了Math中的方法，还多了一些适用于游戏开发的方法

  • CeilToInt：向上取整 Mathf.CeilToInt(1.3f) == 2

  • FloorToInt：向下取整 Mathf.CeilToInt(1.3f) == 1

  • Clamp：钳制函数 Mathf.Clamp(10, 11, 20) == 11 Mathf.Clamp(21, 11, 20) == 20

  • Pow：一个数的n次方 Mathf.Pow(2, 3) == 8

  • RoundToInt：四舍五入 Mathf.RoundToInt(1.5f) == 2

  • Sqrt：开平方根 Mathf.Sqrt(4) == 2

  • IsPowerOfTwo：是否是2的n次方 Mathf.IsPowerOfTwo(4) == true

  • Sign：判断正负数 Mathf.Sign(10) == 1 Mathf.Sign(-3) == -1

  • Lerp ：插值运算`Mathf.Clamp(start, end, t)` 公式—— **result = start + (end-start) * t**
    • 用法一：先快后慢，无限接近
      start = Mathf.Lerp(start, 10, Time.deltaTime)
    • 用法二：匀速变化，t>=1时，得到结果
      time += Time.deltaTime
      result = Mathf.Lerp(start, 10, time)

三角函数

角度：1°

弧度：1radian

圆一周角度：360°

圆一周弧度：2Π radian

角度和弧度转换：

  • 1 rad = (180 / Π)° = 180 / 3.14 ≈ 57.3°
  • 1° = （Π / 180） =3.14 / 180 ≈ 0.01745 rad

Unity中角度和弧度转化：

  • Mathf.Rad2Deg * rad 弧度转角度
  • Mathf.Deg2Rad * angle 角度转弧度

正弦函数、余弦函数：

  • sin:对边 / 斜边 Mathf.Sin(30 * Mathf.Deg2Rad) == 0.5
  • cos:领边 / 斜边

反三角函数：

Mathf.Asin(0.5) * Mathf.Rad2Deg = 30

Mathf中的三角函数相关的函数，参数需要是弧度值

坐标系

世界坐标系、物理坐标系：

以世界中点/自己为原点，正前方为z轴，右边为x轴，头顶为y轴

屏幕坐标系：

原点为屏幕左下角，向右为x轴，向上为y轴

视口坐标系：

与屏幕坐标系类似，只是将坐标单位化 eg: 右上角（1，1）

向量

有数值大小，有方向的量

三维向量的几何意义：位置、方向

向量模长：.magnitude

向量归一化：.normalized

向量加减法几何意义：位置平移
位置向量±方向向量 == 新的位置向量

向量乘除标量几何意义：缩放

向量点乘 Vector3.Dot(A,B)

A•B =（a,b,c）•（d,e,f）= ad+be+cf 或者 A•B=|A||B|cosß 可以得到一个向量在自己向量方向上的投影

  • 点乘结果>0：两个向量夹角为锐角
  • 点乘结果=0：两个向量夹角为直角
  • 点乘结果>0：两个向量夹角为钝角

所以点乘可以用来判断游戏物体间的前后关系和角度关系

向量叉乘 Vector3.Cross(A,B)

A(Xa, Ya, Za) X B(Xb, Yb, Zb) = (YaZb-ZaYb, ZaXb-XaZb, XaYb-YaXb)

结果是一个垂直于A,B向量的新向量, 假设A、B都是XZ平面的向量

  • 新向量.y> 0 ：B在A的右侧
  • 新向量.y< 0 ：B在A的左侧

所以可以用来判断游戏物体间的左右侧关系

线性代数

线性代数是一门研究向量和变换的数学学科

矩阵

矩阵是一种用来表示和处理数据的数学工具

矩阵是有m x n个标量组成的，通过方括号内的数值表来表示

程序中矩阵表示：

  • 数组
  • 嵌套列表
  • 开发工具提供的类或结构体（Unity中的Matrix4x4、Matrix3x2结构体）

学习矩阵的目的是为了能在Shader开发中利用其进行相关数学计算

矩阵乘法

矩阵和标量乘法：直接让矩阵中的每一个标量乘以标量即可

矩阵和矩阵的乘法：

  • 相乘条件：左列右行要相等 eg: (m x n) 、 (n x u) 可以相乘
  • 相乘规则：左行乘右列 再相加
  • 不满足交换律 AB ≠ BA

特殊矩阵

方块矩阵

简称方阵，特点是行列数相等

对角矩阵

是一种特殊的方阵，只有主对角线有值，其余元素全为零

单位矩阵

特殊的对角矩阵，主对角线元素为1的对角矩阵

数量矩阵

特殊的对角矩阵，主对角线元素为同一值

转置矩阵

将原始矩阵的行和列互换得到的新矩阵

  • 转置矩阵的转置等于原矩阵 (M^T^)^T^ = M
  • 矩阵串接的转置等于方向串接各矩阵的转置 (AB)^T^ == B^T^ A^T^

逆矩阵

逆矩阵必须是一个方阵，并且不是所有矩阵都有逆矩阵

如果一个矩阵存在对应的逆矩阵，则称该矩阵是可逆的（非奇异的），如果不存在对应的逆矩阵，则称该矩阵是不可逆的（奇异的）

存在逆矩阵的判断条件：MM^-1^ = M^-1^M = I(单位矩阵)

计算矩阵的逆矩阵：

  1. 确定矩阵为方阵
  2. 计算矩阵的行列式（若行列式值为零，则该矩阵没有逆矩阵）
  3. 计算矩阵的代数余子式矩阵
  4. 计算标准伴随矩阵（转置代数余子式矩阵）
  5. 计算逆矩阵（标准伴随矩阵/行列式）

行列式

|M|结果是一个标量

低阶： 二阶、三阶 对角线法则：主对角线-副对角线

高阶：

  • 初等变换
  • 定理：n阶行列式D等于他的任意一行（或者列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和

​

代数余子式矩阵

每个元素Cij = -1的i+j次幂 * 去掉第i行、j列组成的矩阵的行列式

标准伴随矩阵

原矩阵的代数余子式矩阵的转置矩阵

逆矩阵

逆矩阵为 标准伴随矩阵 / 行列式

性质：

  • 逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身
  • 矩阵乘以自己的逆矩阵为单位矩阵
  • 单位矩阵的逆矩阵是它本身
  • 转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
  • 矩阵串接相乘后的逆矩阵 等于反串接各个矩阵的逆矩阵 相乘
  • 逆矩阵可以计算矩阵变换的反向变换

正交矩阵

正交矩阵是一种特殊的方阵，他的转置矩阵等于他的逆矩阵，他的转置矩阵也是正交矩阵